Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- \frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2

Simplifica $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cotangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2.1.3

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2.1.4

Multiplica $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Paso 1.2.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - \frac{π}{4}$ y $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 \cot (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{5 π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5 π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Paso 2.4

Combina los términos.

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Paso 2.4.1

Suma $5 \csc^{2} (x)$ y $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Paso 2.4.2

Suma $5 \csc^{2} (x)$ y $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Paso 2.6.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Paso 2.6.3

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Paso 2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.4.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 2.6.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Paso 2.6.4.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 2.6.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.6.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.6.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.6.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.5.4.1

Cancela el factor común.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.6.5.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \cdot 2^{1}$

Paso 2.6.5.5

Evalúa el exponente.

$5 \cdot 2$

Paso 2.6.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$10$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $10$ y un punto dado $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Paso 3.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Paso 3.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Paso 3.3.1.5

Combina $5$ y $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Paso 3.3.2.2

Resta $\frac{5 π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Paso 3.3.2.3

Combina los términos opuestos en $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Paso 3.3.2.3.2

Resta $5 π$ de $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Paso 3.3.2.4

Divide $0$ por $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Paso 3.3.2.5

Suma $10 x$ y $0$ .

$y = 10 x + 1$

Paso 4