Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(- 1, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - x$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$3 {({(- 1)}^{2} - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$3 {(1 - (- 1))}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 {(1 + 1)}^{2} (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$3 \cdot 2^{2} (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 4 (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 (2 (- 1) - 1)$

Paso 1.4.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 (- 2 - 1)$

Paso 1.4.2.5

Resta $1$ de $- 2$ .

$12 \cdot - 3$

Paso 1.4.2.6

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$- 36$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 36$ y un punto dado $(- 1, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 36 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 36 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 - 36 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = - 36 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = - 36 x - 36 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$y - 8 = - 36 x - 36$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 36 x - 36 + 8$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 36$ y $8$ .

$y = - 36 x - 28$

Paso 3