Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{6 x}{x + 2}$ at $(4, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{x + 2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 2$ .

$6 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$6 \frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$6 \frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$6 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Suma $0$ y $2$ .

$6 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $6$ y $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{12}{{((4) + 2)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{12}{6^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{12}{36}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $12$ y $36$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Factoriza $12$ de $12$ .

$\frac{12 (1)}{36}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $12$ de $36$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 3}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{3}$ y un punto dado $(4, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 4$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 12}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 4$ y $12$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{8}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$

Paso 3