Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x + 2}{x - 4}$ , $(3, - 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = - 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x - 4) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x - 4) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x - 4$ por $1$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 4 - (x + 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $x - 4 - x - 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 4 - 1 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Resta $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 1 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 4 - 2}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Resta $2$ de $- 4$ .

$\frac{- 6}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$- \frac{6}{{((3) - 4)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Resta $4$ de $3$ .

$- \frac{6}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{6}{1}$

Paso 1.5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.2.1

Divide $6$ por $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 6$ y un punto dado $(3, - 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = - 6 \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 5 = - 6 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 6 \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 5 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 5 = - 6 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 5 = - 6 x - 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 3$ .

$y + 5 = - 6 x + 18$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 6 x + 18 - 5$

Paso 2.3.2.2

Resta $5$ de $18$ .

$y = - 6 x + 13$

Paso 3