Cálculo Ejemplos

$f (x) = {({(x - 1)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = {({(2 - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${({((2) - 1)}^{2} - (2))}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$y = {(1^{2} - (2))}^{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = {(1 - (2))}^{2}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = {(1 - 2)}^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2} - x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x - 1)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2} - x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x - 1)}^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1 \cdot 1)$

Paso 2.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 ({(x - 1)}^{2} - x) (2 (x - 1) - 1)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 1) - 1)$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 {(x - 1)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 1 - 1)$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 2 - 1)$

Paso 2.5.3.3

Resta $1$ de $- 2$ .

$(2 {(x - 1)}^{2} - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 ((x - 1) (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$(2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$(2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(2 (x^{2} - x - x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$(2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.5

Simplifica.

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Paso 2.5.4.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$(2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x) (2 x - 3)$

Paso 2.5.5

Resta $2 x$ de $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$

Paso 2.5.6

Expande $(2 x^{2} - 6 x + 2) (2 x - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.5.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.7.6.1

Mueve $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.7

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.8

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.7.10

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Paso 2.5.8

Resta $12 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x + 4 x - 6$

Paso 2.5.9

Suma $18 x$ y $4 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 22 x - 6$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 8 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 - 18 {(2)}^{2} + 22 (2) - 6$

Paso 2.7.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 - 18 \cdot 4 + 22 (2) - 6$

Paso 2.7.1.4

Multiplica $- 18$ por $4$ .

$32 - 72 + 22 (2) - 6$

Paso 2.7.1.5

Multiplica $22$ por $2$ .

$32 - 72 + 44 - 6$

Paso 2.7.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.7.2.1

Resta $72$ de $32$ .

$- 40 + 44 - 6$

Paso 2.7.2.2

Suma $- 40$ y $44$ .

$4 - 6$

Paso 2.7.2.3

Resta $6$ de $4$ .

$- 2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Paso 4