Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x}$ at $(- 8, - \frac{3}{8})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 8$ y $y = - \frac{3}{8}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Paso 1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = - 8$ .

$- \frac{3}{{(- 8)}^{2}}$

Paso 1.7

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{64}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{64}$ y un punto dado $(- 8, - \frac{3}{8})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{8}) = - \frac{3}{64} \cdot (x - (- 8))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{3}{8} = 0 + 0 - \frac{3}{64} \cdot (x + 8)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{64} \cdot 8$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{3}{64}$ .

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} - \frac{3}{64} \cdot 8$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{64}$ al numerador.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{64} \cdot 8$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $8$ de $64$ .

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 (8)} \cdot 8$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot 8$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3 \cdot x}{64} + \frac{- 3}{8}$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + \frac{3}{8} = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{8}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{3}{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{8} - \frac{3}{8}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{- 3 - 3}{8}$

Paso 2.3.2.3

Resta $3$ de $- 3$ .

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{- 6}{8}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{- 6}{8}$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $8$ .

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 (- 3)}{8}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{- 3}{4}$

Paso 2.3.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{64} - \frac{3}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{64} x) - \frac{3}{4}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{4}$

Paso 3