Cálculo Ejemplos

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{1}{2}$ y $y = \frac{π}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\arcsin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 1.3

Combina $3$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Paso 1.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Paso 1.5.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Paso 1.5.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Paso 1.5.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Paso 1.5.1.6

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.5.1.7

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Paso 1.5.1.8

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.8.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Paso 1.5.1.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Paso 1.5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 1.5.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 1.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.5.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.5.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.5.5.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2 \sqrt{3}$ y un punto dado $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Paso 2.3.1.3.2

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $- \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $- \sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Paso 2.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (2 \sqrt{3} - π)$ como $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Paso 3