Cálculo Ejemplos

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) - 6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.4.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Paso 1.5.2

Suma $2 \sqrt{3}$ y $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $5 \sqrt{3}$ y un punto dado $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Paso 2.3.1.4.2

Combina $\frac{π}{3}$ y $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Paso 2.3.1.4.3

Combina $\frac{π \cdot - 5}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.5.1

Mueve $- 5$ a la izquierda de $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.3.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ como $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Paso 3