Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Paso 1.2.4

Simplifica $\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común de ${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ y $4 (4) - {(4)}^{3}$ .

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Paso 1.2.4.1.1

Reordena los términos.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.1.2

Factoriza $4$ de ${(4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.1.3

Factoriza $4$ de $- 16 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.1.4

Factoriza $4$ de $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.1.5.1

Factoriza $4$ de $- {(4)}^{3}$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.1.5.2

Factoriza $4$ de $4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

Paso 1.2.4.1.5.3

Factoriza $4$ de $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Paso 1.2.4.1.5.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Paso 1.2.4.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $4 - 4 \cdot 4$ y $- 4^{2} + 4$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Paso 1.2.4.2.2

Factoriza $4$ de $- 4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Paso 1.2.4.2.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Paso 1.2.4.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.4.1

Factoriza $4$ de $- 4^{2}$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

Paso 1.2.4.2.4.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

Paso 1.2.4.2.4.3

Factoriza $4$ de $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Paso 1.2.4.2.4.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Paso 1.2.4.2.4.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.2.4.3

Cancela el factor común de $1 - 1 \cdot 4$ y $- 1 \cdot 4 + 1$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Reordena los términos.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.3.3

Reescribe la expresión.

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 16 x$ y $g (x) = 4 x - x^{3}$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.9

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.2.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Expande $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.4

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.6

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.8

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.4

Expande $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.5.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.5

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.7

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.5.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.5.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.5.8

Multiplica $16$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Combina los términos opuestos en $8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Suma $- 64 x$ y $64 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.2.2

Suma $8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Resta $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.4

Suma $- 2 x^{4}$ y $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.2.5

Resta $48 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 32 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.4.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.4.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Factoriza $x$ de $- x^{3} + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.1.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

Paso 2.3.5.1.3

Factoriza $x$ de $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

Paso 2.3.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

Paso 2.3.5.3

Reordena $- x^{2}$ y $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.3.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Paso 2.3.5.5

Aplica la regla del producto a $x (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.8

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.9

Reescribe ${(2 x + x^{2})}^{2}$ como $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.10

Expande $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.5.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.5.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.5.11.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.11.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.11.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.3.5.11.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.11.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.5.11.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.5.11.1.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.1.7.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.11.2

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.12

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ .

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Paso 2.3.5.12.1

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.12.2

Factoriza $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.12.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.12.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.12.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.13

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.3.5.13.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.13.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Paso 2.3.5.13.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.5.13.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 32$ por $4$ .

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.2.3

Resta $128$ de $16$ .

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.2.4

Suma $- 112$ y $4$ .

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.3.1

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Paso 2.5.3.3

Resta $4$ de $2$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Paso 2.5.3.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

Paso 2.5.3.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

Paso 2.5.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $36$ por $4$ .

$\frac{- 108}{144}$

Paso 2.5.4.2

Cancela el factor común de $- 108$ y $144$ .

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Paso 2.5.4.2.1

Factoriza $36$ de $- 108$ .

$\frac{36 (- 3)}{144}$

Paso 2.5.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.4.2.2.1

Factoriza $36$ de $144$ .

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Paso 2.5.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Paso 2.5.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{4}$

Paso 2.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{4}$ y un punto dado $(4, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.2.3.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Paso 3.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

Paso 3.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

Paso 4