Cálculo Ejemplos

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Paso 1.2.2

Expande $(y - 3) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Paso 1.2.3.2

Resta $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Paso 1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 6 y + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.7

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 y$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.8

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Paso 1.2.10

Suma $2 y y' - 6 y'$ y $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (x - 5)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (1 + 0)$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \cdot 1$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' - 6 y'$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $2 y'$ de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $2 y' (y - 3) = 4$ por $2 (y - 3)$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $2 y' (y - 3) = 4$ por $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 9$ y $y = 7$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$\frac{2}{y - 3}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $7$ en la expresión.

$\frac{2}{(7) - 3}$

Paso 1.7.3

Resta $3$ de $7$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{2}$ y un punto dado $(9, 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (9))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 9$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{9}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + 7$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 9 + 7 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 9 + 14}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 9$ y $14$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Paso 3