Cálculo Ejemplos

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = - 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Paso 1.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Paso 1.1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ como ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Paso 1.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.7.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Paso 1.3.7.2

Multiplica $6$ por $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $54$ y $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Paso 1.4.2.2

Combina $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ y $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $54$ por $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Paso 1.6.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Paso 1.6.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Paso 1.6.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1}$

Paso 1.6.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(0, - 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $0 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$y + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

Paso 3