Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} + 2 x - 1$ at $x = 0$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 0$ .

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Paso 1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \cdot 0^{2} + 2 (0) - 1$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Paso 1.2.3

Simplifica $4 {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 4 \cdot 0 + 2 (0) - 1$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = 0 + 2 (0) - 1$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Paso 1.2.3.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.2.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 - 1$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 2 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $8 x + 2$ y $0$ .

$8 x + 2$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$8 (0) + 2$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 + 2$

Paso 2.6.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(0, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 2 \cdot (x - (0))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y + 1 = 2 x$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 1$

Paso 4