Cálculo Ejemplos

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 9$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{2 x} - 4$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 x} - 4$ .

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.4.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

Paso 1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.5.1

Suma $2 e^{2 x}$ y $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Paso 1.5.3

Combina los términos.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.3.1.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Paso 1.5.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Paso 1.5.3.1.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Paso 1.5.3.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

Paso 1.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

Paso 1.7.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 16 e^{2 (0)}$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 - 16 e^{0}$

Paso 1.7.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 - 16 \cdot 1$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$4 - 16$

Paso 1.7.2

Resta $16$ de $4$ .

$- 12$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 12$ y un punto dado $(0, 9)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 9 = - 12 x$

Paso 2.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 12 x + 9$

Paso 3