Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Paso 1.2.6

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Paso 1.2.6.2

Reordena los términos.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Paso 1.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Resta $2 y^{8} x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ por $8 y^{7} x^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ por $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.2

Cancela el factor común de $y^{8}$ y $y^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.2.1

Factoriza $y^{7}$ de $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.2.2.1

Factoriza $y^{7}$ de $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Paso 1.5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Paso 1.5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.3.1

Factoriza $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Paso 1.5.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Paso 1.5.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Paso 1.5.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Paso 1.5.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 3$ y $y = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$- \frac{y}{4 (3)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{1}{4 (3)}$

Paso 1.7.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{12}$ y un punto dado $(3, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{12}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{- 1}{4}$ y $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Paso 3