Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3

Multiplica.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2}$

Paso 1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1}$

Paso 1.5.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(1, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$y + 1 = x - 1$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x - 1 - 1$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$y = x - 2$

Paso 3