Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 1.2

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Paso 1.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 1.3.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

${\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.3.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.3.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 1.3.5.5

Evalúa el exponente.

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 2 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 2 x + 2 (- \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{4}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 (2)}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = 2 x + 2 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = 2 x + \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 1 = 2 x - \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 2 x - \frac{π}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 2 x + \frac{- π + 2}{2}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- π$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) + 2}{2}$

Paso 2.3.3.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π) - 1 (- 2)}{2}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (π) - 1 (- 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- (π - 2)}{2}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $- (π - 2)$ como $- 1 (π - 2)$ .

$y = 2 x + \frac{- 1 (π - 2)}{2}$

Paso 2.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 x - \frac{π - 2}{2}$

Paso 3