Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ ; $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 1.2

Simplifica ${(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 4$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 4$

Paso 1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 4$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$y = 1 - 5 + 4$

Paso 1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.2.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$y = - 4 + 4$

Paso 1.2.2.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$y = 0$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 10 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $4 x^{3} - 10 x$ y $0$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$4 {(- 1)}^{3} - 10 \cdot - 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 1 - 10 \cdot - 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 - 10 \cdot - 1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$- 4 + 10$

Paso 2.5.2

Suma $- 4$ y $10$ .

$6$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(- 1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 6 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 6 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica $6 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot 1$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = 6 x + 6$

Paso 4