Cálculo Ejemplos

$y e^{\sin (x)} = x \cos (y)$ , $(0, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y e^{\sin (x)}) = \frac{d}{d x} (x \cos (y))$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = e^{\sin (x)}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{\sin (x)}] + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$y (e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Paso 1.3.5.2

Reordena los términos.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y' = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Reordena los factores en $y e^{\sin (x)} \cos (x) + e^{\sin (x)} y'$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Reordena los factores en $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} = - x y' \sin (y) + \cos (y)$

Paso 1.5.3

Suma $x y' \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{\sin (x)} \cos (x) + y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y)$

Paso 1.5.4

Resta $y e^{\sin (x)} \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 1.5.5

Factoriza $y'$ de $y' e^{\sin (x)} + x y' \sin (y)$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $y'$ de $x y' \sin (y)$ .

$y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $y'$ de $y' (e^{\sin (x)}) + y' (x \sin (y))$ .

$y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 1.5.6

Divide cada término en $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ por $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.6.1

Divide cada término en $y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y)) = \cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)$ por $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.6.2.1

Cancela el factor común de $e^{\sin (x)} + x \sin (y)$ .

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Paso 1.5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{\sin (x)} + x \sin (y))}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.5.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} + \frac{- y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (y)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)} - \frac{y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.5.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y) - y e^{\sin (x)} \cos (x)}{e^{\sin (x)} + x \sin (y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = 0$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{\cos (y) - y e^{\sin (0)} \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $0$ en la expresión.

$\frac{\cos (0) + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{\sin (0)} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (e^{0} \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot (1 \cos (0))}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.4

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \cos (0)}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{1 + 0}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{\sin (0)} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{e^{0} + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{1 + (0) \sin (0)}$

Paso 1.7.4.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 \cdot 0}$

Paso 1.7.4.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Paso 1.7.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1}$

Paso 1.7.5.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(0, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3.2

Simplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $x + 0$ por $1$ .

$y = x + 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 3