Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{6}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \cos (\frac{π}{6})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\sqrt{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{6}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.4

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{π}{6}$ .

$y - 1 = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6}$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{6} + \frac{6}{6}$

Paso 2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{6}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3} π$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{6}$

Paso 2.3.3.4

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{6}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $- (\sqrt{3} π - 6)$ como $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{6}$

Paso 2.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{6}$

Paso 3