Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln^{5} (x)$ at $x = 5$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 5$ .

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Paso 1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$y = \ln ({(5)}^{5})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (5^{5})$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(5)}^{5})$

Paso 1.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$y = \ln (3125)$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = \ln (3125)$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x)}^{5}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como ${(x)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x)}^{5}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{5}{x^{5}}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{5}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Paso 2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{x}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$\frac{5}{5}$

Paso 2.4

Divide $5$ por $5$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(5, \ln (3125))$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3125)) = 1 \cdot (x - (5))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \ln (3125) = 1 \cdot (x - 5)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $x - 5$ por $1$ .

$y - \ln (3125) = x - 5$

Paso 3.3.2

Suma $\ln (3125)$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x - 5 + \ln (3125)$

Paso 4