Cálculo Ejemplos

$x y = 15$ , $x = 5$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 5$ .

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Paso 1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$(5) \cdot y = 15$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Multiplica $5$ por $y$ .

$5 \cdot y = 15$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $5 \cdot y = 15$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $5 \cdot y = 15$ por $5$ .

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{15}{5}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $15$ por $5$ .

$y = 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (15)$

Paso 2.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Paso 2.3

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 2.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + y = 0$

Paso 2.5

Resuelve $y'$

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Paso 2.5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' = - y$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $x y' = - y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $x y' = - y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

Paso 2.5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{x}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x}$

Paso 2.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Paso 2.7

Evalúa $x = 5$ y $y = 3$ .

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Paso 2.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$- \frac{y}{5}$

Paso 2.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $3$ en la expresión.

$- \frac{3}{5}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{5}$ y un punto dado $(5, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Paso 3.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{3}{5}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 5$

Paso 3.3.1.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{5}$ al numerador.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 5$

Paso 3.3.1.2.3.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 1))$

Paso 3.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + 3$

Paso 3.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 3 = - \frac{3 x}{5} + 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{5} + 3 + 3$

Paso 3.3.2.2

Suma $3$ y $3$ .

$y = - \frac{3 x}{5} + 6$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{5} x) + 6$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{5} x + 6$

Paso 4