Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ at the point $(4, - \frac{57}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = - \frac{57}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- 1} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.9

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.11

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.12.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 1}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{- 2} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + 0$

Paso 1.5.2.2

Suma $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{5}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.7.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.7.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Paso 1.7.1.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Paso 1.7.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{16} - \frac{2}{2}$

Paso 1.7.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{16} - 1 \cdot 1$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{16} - 1$

Paso 1.7.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Paso 1.7.3

Combina $- 1$ y $\frac{16}{16}$ .

$\frac{5}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Paso 1.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - 1 \cdot 16}{16}$

Paso 1.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{5 - 16}{16}$

Paso 1.7.5.2

Resta $16$ de $5$ .

$\frac{- 11}{16}$

Paso 1.7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{11}{16}$ y un punto dado $(4, - \frac{57}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{57}{4}) = - \frac{11}{16} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{57}{4} = 0 + 0 - \frac{11}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11}{16} x - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{11}{16}$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} - \frac{11}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11}{16}$ al numerador.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 (4)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 11}{4}$ y $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{- 11 \cdot - 1}{4}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 11$ por $- 1$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{x \cdot 11}{16} + \frac{11}{4}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $11$ a la izquierda de $x$ .

$y + \frac{57}{4} = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{57}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{11}{4} - \frac{57}{4}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{11 - 57}{4}$

Paso 2.3.2.3

Resta $57$ de $11$ .

$y = \frac{- 11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 46}{4}$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela el factor común de $- 46$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $- 46$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 (- 23)}{4}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{2 \cdot - 23}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{11 x}{16} + \frac{- 23}{2}$

Paso 2.3.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{11 x}{16} - \frac{23}{2}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{11}{16} x) - \frac{23}{2}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{11}{16} x - \frac{23}{2}$

Paso 3