Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} = 3 y + 1$ at $(2, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (3 y + 1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Paso 1.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y' + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 y' + 0$

Paso 1.3.3.2

Suma $3 y'$ y $0$ .

$3 y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 3 y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $3 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 3 y' = 0$

Paso 1.5.2

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $2 x^{2} y y' - 3 y'$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) - 3 y' = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y - 3$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (2 x^{2} y - 3) = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2 x^{2} y - 3$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x^{2} y - 3)}{2 x^{2} y - 3} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 3}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{2 y^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} y - 3}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{2 {(1)}^{2} (2)}{2 {(2)}^{2} (1) - 3}$

Paso 1.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.4.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 1.7.4.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2} \cdot 1 - 3}$

Paso 1.7.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2} \cdot 1 - 3}$

Paso 1.7.4.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} \cdot 1 - 3}$

Paso 1.7.4.2

Simplifica $2^{3} \cdot 1$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{2^{3} - 3}$

Paso 1.7.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{8 - 3}$

Paso 1.7.4.4

Resta $3$ de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1^{2}}{5}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{4 \cdot 1}{5}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{4}{5}$ y un punto dado $(2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $2$ y $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Suma $8$ y $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Paso 3