Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5 x}{x + 3}$ , $(2, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x}{x + 3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 3$ .

$5 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$5 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$5 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$5 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Suma $0$ y $3$ .

$5 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $5$ y $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{15}{{((2) + 3)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{15}{5^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{15}{25}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $15$ y $25$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 (3)}{25}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{3}{5}$ y un punto dado $(2, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{3}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = \frac{3}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{3}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{3}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = \frac{3}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = \frac{3}{5} x + \frac{3}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{3}{5}$ y $x$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{5} + \frac{3}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $- 2$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{5} + \frac{3 \cdot - 2}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 2 = \frac{3 x}{5} - \frac{6}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{6}{5} + 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{6}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 6 + 2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{- 6 + 10}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 6$ y $10$ .

$y = \frac{3 x}{5} + \frac{4}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{5} x + \frac{4}{5}$

Paso 3