Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} + 5 e^{x}$ , $(0, 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 5 e^{x}$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 5 e^{0}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 + 5 e^{0}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 5 e^{0}$

Paso 1.4.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 1.4.2

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(0, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 5 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = 5 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 5 = 5 x$

Paso 2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x + 5$

Paso 3