Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{11}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $\frac{4 x}{3} - 2$ y $0$ .

$\frac{4 x}{3} - 2$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8}{3} - 2$

Paso 1.6.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.6.3

Combina $- 2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Paso 1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

Paso 1.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{8 - 6}{3}$

Paso 1.6.5.2

Resta $6$ de $8$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{3}$ y un punto dado $(2, \frac{11}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{11}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

Paso 2.3.2.3

Suma $- 4$ y $11$ .

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

Paso 2.3.2.4

Divide la fracción $\frac{2 x + 7}{3}$ en dos fracciones.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Paso 3