Cálculo Ejemplos

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) - 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

Paso 1.5.2

Suma $2 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3 \sqrt{3}$ y un punto dado $p = (\frac{π}{3}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{3}$ al numerador.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Elimina los paréntesis.

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

Paso 2.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

Paso 2.3.3.2.2

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

Paso 3