Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 16$ y $y = 32$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11

Simplifica.

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Paso 1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2

Combina los términos.

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Paso 1.11.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.11.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.11.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.4

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.5

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.11.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.11.2.6.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.6.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.8

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.9

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2.12

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Evalúa la derivada en $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.13.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.13.1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.13.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.3

Divide $12$ por $2$ .

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.13.1.4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.13.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

Paso 1.13.1.4.4

Evalúa el exponente.

$6 - \frac{4}{4}$

Paso 1.13.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.13.1.5.1

Cancela el factor común.

$6 - \frac{4}{4}$

Paso 1.13.1.5.2

Reescribe la expresión.

$6 - 1 \cdot 1$

Paso 1.13.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 - 1$

Paso 1.13.2

Resta $1$ de $6$ .

$5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(16, 32)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $5 \cdot (x - 16)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 16$ .

$y - 32 = 5 x - 80$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $32$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x - 80 + 32$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 80$ y $32$ .

$y = 5 x - 48$

Paso 3