Cálculo Ejemplos

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 3)}^{2}$ ; $(2, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 - x$ y $g (x) = {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3)}^{2}] + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 3$ .

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 3$ .

$(1 - x) (2 (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x$ .

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x + 0) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 (1 - x) (x^{2} - 3) (2 x) + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.3.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x + {(x^{2} - 3)}^{2} \cdot - 1$

Paso 1.3.11.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x - 1 \cdot {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.3.11.3

Reescribe $- 1 {(x^{2} - 3)}^{2}$ como $- {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$4 (1 - x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.4.4

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x - {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(4 - 4 x) (x^{2} - 3) x$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 3)}^{2}$

Paso 1.4.4.2

Factoriza $x^{2} - 3$ de $- {(x^{2} - 3)}^{2}$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 3) (- (x^{2} - 3))$

Paso 1.4.4.3

Factoriza $x^{2} - 3$ de $(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 3) (- (x^{2} - 3))$ .

$(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3))$

Paso 1.4.5

Reordena los factores de $(x^{2} - 3) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3))$ .

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.6.2.1

Mueve $x$ .

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 3)) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 3) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.6.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.7

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$(4 x - 5 x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$

Paso 1.4.8

Expande $(4 x - 5 x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.9.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.9.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.4.9.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.9.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.4

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 15 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 3$

Paso 1.4.9.5

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 15 x^{2} + 3 x^{2} - 9$

Paso 1.4.10

Suma $15 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x - 5 x^{4} + 18 x^{2} - 9$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$4 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 8 - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 - 12 \cdot 2 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$32 - 24 - 5 {(2)}^{4} + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$32 - 24 - 5 \cdot 16 + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $- 5$ por $16$ .

$32 - 24 - 80 + 18 {(2)}^{2} - 9$

Paso 1.6.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$32 - 24 - 80 + 18 \cdot 4 - 9$

Paso 1.6.1.7

Multiplica $18$ por $4$ .

$32 - 24 - 80 + 72 - 9$

Paso 1.6.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.6.2.1

Resta $24$ de $32$ .

$8 - 80 + 72 - 9$

Paso 1.6.2.2

Resta $80$ de $8$ .

$- 72 + 72 - 9$

Paso 1.6.2.3

Suma $- 72$ y $72$ .

$0 - 9$

Paso 1.6.2.4

Resta $9$ de $0$ .

$- 9$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 9$ y un punto dado $(2, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 9 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = - 9 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 9 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 - 9 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = - 9 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = - 9 x - 9 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 9$ por $- 2$ .

$y + 1 = - 9 x + 18$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 9 x + 18 - 1$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de $18$ .

$y = - 9 x + 17$

Paso 3