Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ at the point $(4, \frac{35}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{35}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + x^{- \frac{1}{2}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$ y $0$ .

$4 - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 4$

Paso 1.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Paso 1.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2} + 4$

Paso 1.5.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 4$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4$

Paso 1.7.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.7.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Paso 1.7.1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.7.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}} + 4$

Paso 1.7.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{3}} + 4$

Paso 1.7.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2^{1 + 3}} + 4$

Paso 1.7.1.1.4

Suma $1$ y $3$ .

$- \frac{1}{2^{4}} + 4$

Paso 1.7.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{1}{16} + 4$

Paso 1.7.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16}$

Paso 1.7.3

Combina $4$ y $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Paso 1.7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 4 \cdot 16}{16}$

Paso 1.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{- 1 + 64}{16}$

Paso 1.7.5.2

Suma $- 1$ y $64$ .

$\frac{63}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{63}{16}$ y un punto dado $(4, \frac{35}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{35}{2}) = \frac{63}{16} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{63}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{35}{2} = 0 + 0 + \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63}{16} x + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{63}{16}$ y $x$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 (4)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{63}{4}$ y $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{63 \cdot - 1}{4}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $63$ por $- 1$ .

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63}{4}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{35}{2} = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{35}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{35}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{35}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} - \frac{63}{4} + \frac{35 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 35 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $35$ por $2$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{- 63 + 70}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 63$ y $70$ .

$y = \frac{63 x}{16} + \frac{7}{4}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{63}{16} x + \frac{7}{4}$

Paso 3