Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ at $x = 3$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 3$ .

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Paso 1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{8} \cdot 3^{3}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\frac{1}{8} \cdot {(3)}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot 27$

Paso 1.2.3.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $27$ .

$y = \frac{27}{8}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = \frac{27}{8}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{8} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{8} (3 x^{2})$

Paso 2.3

Combina fracciones.

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Paso 2.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} x^{2}$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{3}{8}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{8}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$\frac{3 {(3)}^{2}}{8}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{1} {(3)}^{2}}{8}$

Paso 2.5.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + 2}}{8}$

Paso 2.5.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3^{3}}{8}$

Paso 2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{27}{8}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{27}{8}$ y un punto dado $(3, \frac{27}{8})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot (x - (3))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{27}{8} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{27}{8} = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} \cdot (x - 3)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{27}{8}$ y $x$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot - 3$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{27}{8} \cdot - 3$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Combina $\frac{27}{8}$ y $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot - 3}{8}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $27$ por $- 3$ .

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} + \frac{- 81}{8}$

Paso 3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{27}{8} = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{27}{8}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{81}{8} + \frac{27}{8}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{27 x - 81 + 27}{8}$

Paso 3.3.2.3

Suma $- 81$ y $27$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Paso 3.3.2.4

Factoriza $27$ de $27 x - 54$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Factoriza $27$ de $27 x$ .

$y = \frac{27 (x) - 54}{8}$

Paso 3.3.2.4.2

Factoriza $27$ de $- 54$ .

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Paso 3.3.2.4.3

Factoriza $27$ de $27 x + 27 \cdot - 2$ .

$y = \frac{27 (x - 2)}{8}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{27 x + 27 \cdot - 2}{8}$

Paso 3.3.3.2

Multiplica $27$ por $- 2$ .

$y = \frac{27 x - 54}{8}$

Paso 3.3.3.3

Divide la fracción $\frac{27 x - 54}{8}$ en dos fracciones.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 54}{8}$

Paso 3.3.3.4

Cancela el factor común de $- 54$ y $8$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 (- 27)}{8}$

Paso 3.3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{- 27}{4}$

Paso 3.3.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{27 x}{8} - \frac{27}{4}$

Paso 3.3.3.6

Reordena los términos.

$y = \frac{27}{8} x - \frac{27}{4}$

Paso 4