Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{8 + x^{3}}$ , $(1, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 + x^{3}}$ como ${(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 8 + x^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 + x^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(8 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 + x^{3}]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.9

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Paso 1.12

Combina fracciones.

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Paso 1.12.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Paso 1.12.2

Combina $\frac{3}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(8 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 {(8 + {(1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Simplifica.

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Paso 1.14.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.14.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.14.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.14.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.14.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 1.14.2.6

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 1.14.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.14.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 1.14.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6}$

Paso 1.14.3.3

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 1.14.3.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Paso 1.14.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.14.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 1.14.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 1.14.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{2}$ y un punto dado $(1, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y - 3 = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 3 = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 1 + 6}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Paso 3