Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 4$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.2

Simplifica ${(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$y = {(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.2.1.2

Resta $8$ de $24$ .

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.2.1.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 4^{1}$

Paso 1.2.2.3

Evalúa el exponente.

$y = 4$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 6 x - 8$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x - 8$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.6.3

Mueve ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 2.8

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 2.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 2.11

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Paso 2.12

Simplifica los términos.

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Paso 2.12.1

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Paso 2.12.2

Combina $\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ y $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.12.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{{(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{3}{{(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15

Simplifica el denominador.

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Paso 2.15.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{3}{{(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.2

Resta $8$ de $24$ .

$\frac{3}{16^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{3}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.15.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.15.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4^{1}}$

Paso 2.15.6

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{4}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{3}{4}$ y un punto dado $(4, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y - 4 = \frac{3 x}{4} - 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 4$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 1$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{4} x + 1$

Paso 4