Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2

Simplifica $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.2.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Paso 2.14

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.15.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.6.1

Cancela el factor común.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.6.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.8

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 2.15.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.15.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10.5

Evalúa el exponente.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

Paso 2.15.1.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.12.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

Paso 2.15.1.12.2

Cancela el factor común.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 2.15.1.12.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + \frac{2}{2}$

Paso 2.15.1.13

Divide $2$ por $2$ .

$- 1 + 1$

Paso 2.15.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$0$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $0$ por $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 4