Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 4 x + 5$ at $(1, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$2 x - 4$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$2 (1) - 4$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $2$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(1, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 2 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 2 = - 2 x + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 2 + 2$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = - 2 x + 4$

Paso 3