Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{3} + 4) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3} + 4$ y $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x^{3} + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.9

Suma $6 x - 4$ y $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

Paso 1.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 1.2.12

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Paso 1.2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.13.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Paso 1.2.13.2

Mueve $3$ a la izquierda de $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{3} + 4) (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.1.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.3.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$6 x^{4} + 24 x + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.4

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.5

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.7.3

Suma $2$ y $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.8

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.9

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.9.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.3.6.9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Paso 1.3.6.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 1.3.6.11

Suma $6 x^{4}$ y $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 1.3.6.12

Resta $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 24 x - 16 x^{3} - 16 + 6 x^{2}$

Paso 1.3.7

Reordena los términos.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x - 16$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $15$ por $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.4

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 (1) - 16$

Paso 1.5.1.7

Multiplica $24$ por $1$ .

$15 - 16 + 6 + 24 - 16$

Paso 1.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.5.2.1

Resta $16$ de $15$ .

$- 1 + 6 + 24 - 16$

Paso 1.5.2.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$5 + 24 - 16$

Paso 1.5.2.3

Suma $5$ y $24$ .

$29 - 16$

Paso 1.5.2.4

Resta $16$ de $29$ .

$13$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $13$ y un punto dado $(1, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 13 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $13 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = 13 x + 13 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$y - 5 = 13 x - 13$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 13 x - 13 + 5$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 13$ y $5$ .

$y = 13 x - 8$

Paso 3