Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + x + 2$ at $(0, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{2} + x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 x}{3} + 1 + 0$

Paso 1.3.3

Suma $\frac{4 x}{3} + 1$ y $0$ .

$\frac{4 x}{3} + 1$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{4 (0)}{3} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{3} + 1$

Paso 1.5.2

Divide $0$ por $3$ .

$0 + 1$

Paso 1.5.3

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(0, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x + 0$ por $1$ .

$y - 2 = x + 0$

Paso 2.3.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$y - 2 = x$

Paso 2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x + 2$

Paso 3