Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 9 x$ at the point $(3, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 9 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$3 x^{2} - 9$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2} - 9$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.1.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 1.4.1.1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 9$

Paso 1.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{1 + 2} - 9$

Paso 1.4.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$3^{3} - 9$

Paso 1.4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 9$

Paso 1.4.2

Resta $9$ de $27$ .

$18$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $18$ y un punto dado $(3, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 18 \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 18 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 18 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.2

Simplifica $18 \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 18 x + 18 \cdot - 3$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $18$ por $- 3$ .

$y = 18 x - 54$

Paso 3