Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2

Simplifica $4 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

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Paso 1.2.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 (\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{2} \sqrt{2}$

Paso 1.2.2.5

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Paso 1.2.2.6

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Paso 1.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 1.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$y = {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 1.2.2.9

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.2.2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.2.2.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.2.2.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.2.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.9.4.1

Cancela el factor común.

$y = 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.2.9.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 2^{1}$

Paso 1.2.2.9.5

Evalúa el exponente.

$y = 2$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Paso 2.13.3

Reescribe $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Paso 2.13.4

Reescribe $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Paso 2.13.5

Reordena $- {(2 \sin (x))}^{2}$ y ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Paso 2.13.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \cos (x)$ y $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Paso 2.13.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 2.13.8

Expande $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.13.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 2.13.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Paso 2.13.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.9

Combina los términos opuestos en $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Paso 2.13.9.1

Reordena los factores en los términos $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ y $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.9.2

Suma $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ y $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.9.3

Suma $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ y $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.13.10.1

Multiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Paso 2.13.10.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10.1.3

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Paso 2.13.10.2

Multiplica $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Paso 2.13.10.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Paso 2.13.10.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 2.13.10.2.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 2.13.10.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.13.10.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Paso 2.14

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$4 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.15.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$4 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.3.5

Evalúa el exponente.

$4 \frac{2}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.15.1.5.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.5.2

Reescribe la expresión.

$2 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Paso 2.15.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 2.15.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 - 4 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.15.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 4 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$2 - 4 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$2 - 4 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.8.5

Evalúa el exponente.

$2 - 4 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 - 4 (\frac{2}{4})$

Paso 2.15.1.10

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.15.1.10.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{2}{4}$

Paso 2.15.1.10.2

Cancela el factor común.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{2}{4}$

Paso 2.15.1.10.3

Reescribe la expresión.

$2 - 1 \cdot 2$

Paso 2.15.1.11

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2$

Paso 2.15.2

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $0$ por $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 2 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 4