Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $(81, 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 81$ y $y = 9$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.9

Evalúa la derivada en $x = 81$ .

$\frac{1}{2 {(81)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.10.1.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.10.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.10.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.10.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.10.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 9^{1}}$

Paso 1.10.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \cdot 9}$

Paso 1.10.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{1}{18}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{18}$ y un punto dado $(81, 9)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = \frac{1}{18} \cdot (x - (81))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 9 = \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{18} \cdot (x - 81)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 9 = 0 + 0 + \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 9 = \frac{1}{18} \cdot (x - 81)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 9 = \frac{1}{18} x + \frac{1}{18} \cdot - 81$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{18}$ y $x$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{18} \cdot - 81$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 (2)} \cdot - 81$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $9$ de $- 81$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 9)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 9)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 9$ .

$y - 9 = \frac{x}{18} + \frac{- 9}{2}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 9 = \frac{x}{18} - \frac{9}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + 9$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{18} - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{18} + \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$y = \frac{x}{18} + \frac{- 9 + 18}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 9$ y $18$ .

$y = \frac{x}{18} + \frac{9}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{18} x + \frac{9}{2}$

Paso 3