Cálculo Ejemplos

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.2.2

Simplifica $2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

Paso 1.2.2.2

Combina $2$ y $\frac{π}{3}$ .

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.2.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$y = \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.2.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 2.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 2.12

Suma $1$ y $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Paso 2.14

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.15.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.3.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.5.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.5.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.6

Reescribe $- 1 (\frac{3}{2})$ como $- (\frac{3}{2})$ .

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.15.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 2.15.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

Paso 2.15.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

Paso 2.15.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.1.11.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

Paso 2.15.1.11.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.15.1.11.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 2.15.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 + 1}{2}$

Paso 2.15.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.15.2.2.1

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 2.15.2.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$- 1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 1 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3.3.3.2

Para escribir $\frac{\sqrt{3}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.3.3.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Paso 3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Paso 3.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

Paso 3.3.3.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

Paso 4