Cálculo Ejemplos

$y = 5^{x}$ , $(0, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5)$

Paso 1.2

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$5^{0} \ln (5)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 \ln (5)$

Paso 1.3.2

Multiplica $\ln (5)$ por $1$ .

$\ln (5)$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\ln (5)$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \ln (5) \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = \ln (5) \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\ln (5) \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = \ln (5) \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Reordena los factores en $\ln (5) x$ .

$y - 1 = x \ln (5)$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x \ln (5) + 1$

Paso 3