Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{2}$ ;, $(- 2, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} (2 x)$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{4}) x$

Paso 1.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 2}{4} x$

Paso 1.3.3

Combina $\frac{- 2}{4}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{4}$

Paso 1.3.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{4}$

Paso 1.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (2)}$

Paso 1.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{2}$

Paso 1.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$- \frac{- 2}{2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$- - 1$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(- 2, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 1 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$y + 1 = x + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x + 2 - 1$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$y = x + 1$

Paso 3