Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$10 x - (3 x^{2})$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$10 x - 3 x^{2}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 10 x$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 3 {(1)}^{2} + 10 (1)$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 \cdot 1 + 10 (1)$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 + 10 (1)$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$- 3 + 10$

Paso 1.6.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$7$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $7$ y un punto dado $(1, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 7 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 7 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $7 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = 7 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$y - 4 = 7 x - 7$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 7 x - 7 + 4$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 7$ y $4$ .

$y = 7 x - 3$

Paso 3