Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = e$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Simplifica.

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Paso 1.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Paso 1.6.2.2

Multiplica $e$ por $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 1.6.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(1, e)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $x - 1$ .

$y - e = 0$

Paso 2.3.2

Suma $e$ a ambos lados de la ecuación.

$y = e$

Paso 3