Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{4 x + 7}$ , $x = 4$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{4 (4) + 7}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{4 (4) + 7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \sqrt{16 + 7}$

Paso 1.2.2

Suma $16$ y $7$ .

$y = \sqrt{23}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \sqrt{23}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x + 7}$ como ${(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 x + 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 7$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(4 x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.11

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.12

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Paso 2.13

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.13.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Paso 2.13.2

Combina $\frac{1}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{{(4 x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{2}{{(4 (4) + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.16

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{2}{{(16 + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.16.2

Suma $16$ y $7$ .

$\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ y un punto dado $(4, \sqrt{23})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{23}) = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \sqrt{23} = 0 + 0 + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \sqrt{23} = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} \cdot - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.5.1

Combina $\frac{2}{23^{\frac{1}{2}}}$ y $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 4}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \sqrt{23} = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.2

Suma $\sqrt{23}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Para escribir $\sqrt{23}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{23} \cdot \frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.2

Combina $\sqrt{23}$ y $\frac{23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} - \frac{8}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + \sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.4.1

Multiplica $\sqrt{23} \cdot 23^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{23}$ como $23^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2}} \cdot 23^{\frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{1 + 1}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.4.1.5.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{\frac{2}{2}}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23^{1}}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.2

Evalúa el exponente.

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 8 + 23}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.4.3

Suma $- 8$ y $23$ .

$y = \frac{2 x}{23^{\frac{1}{2}}} + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3.3.5

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{23^{\frac{1}{2}}} x + \frac{15}{23^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4