Cálculo Ejemplos

$y^{2} (y^{2} - 4) = x^{2} (x^{2} - 5)$ , $(0, - 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = - 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} (y^{2} - 4)) = \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 5))$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = y^{2} - 4$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [y^{2} - 4] + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$y^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y^{2} (2 y y' + 0) + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.6

Suma $2 y y'$ y $0$ .

$y^{2} (2 y y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.7.1

Mueve $y$ .

$y \cdot y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + 2} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.7.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$y^{3} (2 y') + (y^{2} - 4) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2} - 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 \cdot (y^{2} - 4) y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.10

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{2} - 4) y y'$

Paso 1.2.11

Simplifica.

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Paso 1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} + 2 \cdot - 4) y y'$

Paso 1.2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + (2 y^{2} y + 2 \cdot - 4 y) y'$

Paso 1.2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{2} y y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 1.2.11.4

Combina los términos.

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Paso 1.2.11.4.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{3} (2 y') + 2 (y^{1} y^{2}) y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 1.2.11.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{3} (2 y') + 2 y^{1 + 2} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 1.2.11.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' + 2 \cdot - 4 y y'$

Paso 1.2.11.4.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y^{3} (2 y') + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 1.2.11.4.5

Suma $y^{3} (2 y')$ y $2 y^{3} y'$ .

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Paso 1.2.11.4.5.1

Reordena $y^{3}$ y $2$ .

$2 \cdot y^{3} y' + 2 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 1.2.11.4.5.2

Suma $2 \cdot y^{3} y'$ y $2 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 5$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia.

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Paso 1.3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$x^{2} (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{3} + (x^{2} - 5) (2 x)$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 5$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot (x^{2} - 5) x$

Paso 1.3.7

Simplifica.

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Paso 1.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 5) x$

Paso 1.3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 5 x$

Paso 1.3.7.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.7.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 5 x$

Paso 1.3.7.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 5 x$

Paso 1.3.7.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 5 x$

Paso 1.3.7.3.4

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$2 x^{3} + 2 x^{3} - 10 x$

Paso 1.3.7.3.5

Suma $2 x^{3}$ y $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y' - 8 y y'$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $4 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $4 y y'$ de $- 8 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 1.5.1.3

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ .

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 10 x$ por $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} - 2$ .

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Paso 1.5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 10 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 y (y^{2} - 2)$ .

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 5 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.5.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = - 2$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{{(0)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $- 2$ en la expresión.

$\frac{{(0)}^{3}}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{- 2 ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{- 2 (4 - 2)} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 2} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{- 4} - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.4

Divide $0$ por $- 4$ .

$0 - \frac{5 (0)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.5

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.7.3.5.1

Factoriza $2$ de $5 (0)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Paso 1.7.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 ((- 2) ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Paso 1.7.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.6

Cancela el factor común de $0$ y $- 2$ .

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Paso 1.7.3.6.1

Factoriza $2$ de $5 \cdot (0)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)$ .

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Paso 1.7.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$0 - \frac{2 (5 \cdot (0))}{2 (- ({(- 2)}^{2} - 2))}$

Paso 1.7.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{5 \cdot (0)}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.7

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{- ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Paso 1.7.3.8

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.3.8.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$0 - \frac{0}{- (4 - 2)}$

Paso 1.7.3.8.2

Resta $2$ de $4$ .

$0 - \frac{0}{- 1 \cdot 2}$

Paso 1.7.3.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 - \frac{0}{- 2}$

Paso 1.7.3.10

Divide $0$ por $- 2$ .

$0 - 0$

Paso 1.7.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.7.4

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(0, - 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 0 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 = 0 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $0 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y + 2 = 0 \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$y + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 2$

Paso 3