Cálculo Ejemplos

$y = 9 x - 8 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x - 8 \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.3.10

Combina $- 8$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.12

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$9 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.3.13.2

Cancela el factor común.

$9 + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.13.3

Reescribe la expresión.

$9 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$9 - \frac{4}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9 - \frac{4}{1}$

Paso 1.5.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$9 - 1 \cdot 4$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$9 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $9$ .

$5$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $5$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 5 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $5 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 5 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$y - 1 = 5 x - 5$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5 x - 5 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 5$ y $1$ .

$y = 5 x - 4$

Paso 3