Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ at $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{{(- 1)}^{7}}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$y = \frac{- 1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{{(- 1)}^{7}}$

Paso 1.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$y = - \frac{1}{7} - \frac{7}{- 1}$

Paso 1.2.1.4

Divide $7$ por $- 1$ .

$y = - \frac{1}{7} - - 7$

Paso 1.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7$

Paso 1.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + 7 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 1.2.3

Combina $7$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{1}{7} + \frac{7 \cdot 7}{7}$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 1 + 7 \cdot 7}{7}$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$y = \frac{- 1 + 49}{7}$

Paso 1.2.5.2

Suma $- 1$ y $49$ .

$y = \frac{48}{7}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = \frac{48}{7}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{x^{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{7}}{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2.3

Combina $7$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{7}{7} x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2.4

Combina $\frac{7}{7}$ y $x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2.5

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x^{6}}{7} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.2.5.2

Divide $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{7}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{7}{x^{7}}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{7}}$ como ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{7}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{6} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{7}$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$x^{6} - 7 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 7 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$x^{6} - 7 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 14}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{6}$ .

$x^{6} - 7 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} - 7 (- 7 x^{6 - 14})$

Paso 2.3.7.3

Resta $14$ de $6$ .

$x^{6} - 7 (- 7 x^{- 8})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$x^{6} + 49 x^{- 8}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{6} + 49 \frac{1}{x^{8}}$

Paso 2.4.2

Combina $49$ y $\frac{1}{x^{8}}$ .

$x^{6} + \frac{49}{x^{8}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

${(- 1)}^{6} + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$1 + \frac{49}{{(- 1)}^{8}}$

Paso 2.6.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $8$ .

$1 + \frac{49}{1}$

Paso 2.6.1.3

Divide $49$ por $1$ .

$1 + 49$

Paso 2.6.2

Suma $1$ y $49$ .

$50$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $50$ y un punto dado $(- 1, \frac{48}{7})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{48}{7}) = 50 \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $50 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{48}{7} = 0 + 0 + 50 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{48}{7} = 50 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50 \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $50$ por $1$ .

$y - \frac{48}{7} = 50 x + 50$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{48}{7}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 50 x + 50 + \frac{48}{7}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $50$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + 50 \cdot \frac{7}{7} + \frac{48}{7}$

Paso 3.3.2.3

Combina $50$ y $\frac{7}{7}$ .

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7}{7} + \frac{48}{7}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 50 x + \frac{50 \cdot 7 + 48}{7}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $50$ por $7$ .

$y = 50 x + \frac{350 + 48}{7}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $350$ y $48$ .

$y = 50 x + \frac{398}{7}$

Paso 4