Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{\frac{7}{2}})$ ; $(1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.7

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Paso 1.8

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ por $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 1.9.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Paso 1.9.2

Mueve $x^{\frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Paso 1.10

Simplifica el denominador.

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Paso 1.10.1

Multiplica $x^{\frac{7}{2}}$ por $x^{- \frac{5}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.10.1.1

Mueve $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Paso 1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Paso 1.10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Paso 1.10.1.4

Suma $- 5$ y $7$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.10.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{7}{2 x^{1}}$

Paso 1.10.2

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{7}{2 x}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{7}{2 (1)}$

Paso 1.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{7}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{7}{2}$ y un punto dado $(1, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.2

Combina $\frac{7}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Combina $\frac{7}{2}$ y $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{7}{2}$

Paso 3